1. Nguyên lý đếm bước rải trên chu kỳ 12 ô

Bàn cờ Ô Ăn Quan gồm 12 ô xếp thành một vòng tròn khép kín: 5 ô dân hàng dưới (Ô 1 đến Ô 5 của người chơi P0), ô Quan Phải, 5 ô dân hàng trên (Ô 6 đến Ô 10 của đối thủ P1), và ô Quan Trái.

Khi bạn bốc một ô có k viên sỏi:

• Viên sỏi thứ nhất rơi vào ô kế tiếp (+1 bước).
• Viên sỏi cuối cùng rơi vào ô cách ô xuất phát đúng k bước theo chiều đã chọn.
• Nếu ô rơi cuối cùng được theo sau bởi một ô dân có sỏi, bạn tiếp tục bốc toàn bộ sỏi ở ô đó để rải tiếp (chuỗi rải tiếp sức - relay sowing).
• Nếu ô rơi cuối cùng được theo sau bởi một ô trống và sau ô trống là một ô có sỏi, bạn sẽ ăn trọn vẹn số sỏi ở ô đó!

2. Tình huống cờ cụ thể: Khai cuộc từ Ô 2

Xét bàn cờ xuất phát tiêu chuẩn hai người chơi: mỗi ô dân có 5 viên sỏi, hai ô Quan mỗi ô có 1 viên Quan (trị giá 10 điểm). Người chơi P0 là người đi trước và chọn bốc sỏi từ Ô 2 (B2).

Phương án A: Rải theo chiều kim đồng hồ (CW)

Từ Ô 2, chiều kim đồng hồ hướng về phía bên trái (qua Ô 1, Quan Trái, rồi lên hàng trên Ô 10):

1. Lượt rải 1: Bốc 5 sỏi từ Ô 2, rải lần lượt vào: Ô 1 (nhận 1), Quan Trái (nhận 1), Ô 10 (nhận 1), Ô 9 (nhận 1), Ô 8 (nhận 1). Viên cuối rơi vào Ô 8. Lúc này Ô 8 có 5 + 1 = 6 viên sỏi.
2. Rải tiếp sức: Ô tiếp theo là Ô 7 (đang có 5 sỏi). P0 bốc 5 sỏi ở Ô 7 rải tiếp vào: Ô 6 (nhận 1), Quan Phải (nhận 1), Ô 5 (nhận 1), Ô 4 (nhận 1), Ô 3 (nhận 1). Viên cuối rơi vào Ô 3 (tăng lên 6 sỏi).
3. Điểm dừng & Ăn quân: Ô tiếp theo sau Ô 3 là Ô 2. Vì Ô 2 đã bị bốc ở đầu lượt, đây là một ô trống!
4. Ô tiếp sau ô trống Ô 2 là Ô 1 (đang có 5 + 1 = 6 viên sỏi từ đợt rải trước). P0 ăn trọn vẹn 6 viên sỏi tại Ô 1!
5. Ô tiếp theo sau Ô 1 là Quan Trái (đang có 1 quan + 1 dân = 11 điểm). Vì Quan Trái không phải ô trống, chuỗi dừng lại.

Kết quả Phương án A: P0 ghi được 6 điểm vào kho điểm.

Phương án B: Rải ngược chiều kim đồng hồ (CCW)

Từ Ô 2, chiều ngược kim đồng hồ hướng về phía bên phải (qua Ô 3, Ô 4, Ô 5, Quan Phải):

1. Lượt rải 1: Bốc 5 sỏi từ Ô 2, rải vào: Ô 3 (nhận 1), Ô 4 (nhận 1), Ô 5 (nhận 1), Quan Phải (nhận 1), Ô 6 (nhận 1). Viên cuối rơi vào Ô 6 (tăng lên 6 sỏi).
2. Rải tiếp sức: Ô tiếp theo là Ô 7 (đang có 5 sỏi). P0 bốc 5 sỏi ở Ô 7 rải ngược tiếp vào: Ô 8 (nhận 1), Ô 9 (nhận 1), Ô 10 (nhận 1), Quan Trái (nhận 1), Ô 1 (nhận 1). Viên cuối rơi vào Ô 1.
3. Điểm dừng & Ăn quân: Ô tiếp theo sau Ô 1 (theo chiều ngược) là Ô 2 (ô trống 0 sỏi).
4. Ô kế tiếp sau ô trống Ô 2 là Ô 3 (đang có 6 viên sỏi). P0 ăn trọn vẹn 6 viên sỏi tại Ô 3!

Kết quả Phương án B: P0 cũng ghi được 6 điểm vào kho điểm.

3. So sánh trạng thái sau hai hướng

Cả hai hướng đều ăn 6 điểm. Bảng dưới ghi số quân dân ở từng ô sau toàn bộ nước đi; B1–B5 là Ô 1–5 của P0, T1–T5 tương ứng Ô 10–6 của P1. Quân Quan được ghi riêng.

Khác biệt là vị trí ô trống phía P0. Cả hai ô Quan đều nhận thêm một dân và Ô 7 (T4) đều trống. Chỉ từ kết quả này chưa thể kết luận hướng nào an toàn hơn: ô trống có thể mở đường ăn cho đối phương, tùy nước họ chọn. Hãy kiểm tra nước đáp trả từ từng ô của P1 trước khi đánh giá.

Nếu chọn Lật bàn, đây cũng là thời điểm người đi sau được cân nhắc đổi bên. Xem ví dụ nhận bên P0 cùng 6 điểm.

4. Lỗi tính nhẩm thường gặp của người mới

• Bỏ quên viên sỏi vừa rải khi tính tiếp sức: Người mới hay quên rằng ô mình chuẩn bị bốc tiếp sức đã được cộng thêm 1 viên sỏi từ vòng trước (ví dụ: ban đầu có 5 sỏi, sau khi nhận sỏi thì thành 6 sỏi chứ không còn là 5).
• Nhầm lẫn giữa dừng lượt và ăn quân: Nếu viên sỏi cuối rơi xuống ô dân, và ô liền kề là ô Quan có sỏi, lượt đi dừng lại ngay lập tức (không được bốc ô Quan rải tiếp, và cũng không được ăn ô Quan vì ô Quan không nằm sau một ô trống).

1. The 12-Pit Circular Trajectory Principle

The O An Quan board forms a closed 12-pit loop: 5 home citizen pits (Pits 1 to 5 for Player P0), Right Quan, 5 opponent citizen pits (Pits 6 to 10 for Player P1), and Left Quan.

When scooping k pebbles from a pit:

• The first pebble lands in the adjacent pit (+1 step).
• The final pebble lands exactly k steps away in the chosen direction.
• If the adjacent pit after your final pebble is a populated citizen pit, scoop it up and continue relay sowing.
• If the adjacent pit is empty and followed by a populated pit, you capture all pebbles in that target pit.

2. Concrete Game Situation: Opening from Pit 2

Consider a standard two-player opening: each citizen pit contains 5 pebbles, and each Mandarin square contains 1 large stone worth 10 points. Player P0 moves first from Pit 2 (B2).

Option A: Clockwise (CW) Sowing

Scoop 5 pebbles from Pit 2, distributing into Pit 1, Left Quan, Pit 10, Pit 9, and Pit 8. The final pebble drops into Pit 8 (now 6 pebbles). The next pit is Pit 7 (5 pebbles). P0 relay sows from Pit 7 into Pit 6, Right Quan, Pit 5, Pit 4, and Pit 3. The final pebble drops into Pit 3. The next pit is Pit 2 (now empty). The subsequent pit is Pit 1 (holding 6 pebbles). Result: P0 captures all 6 pebbles from Pit 1 into their score reserve!

Option B: Counter-Clockwise (CCW) Sowing

Scoop 5 pebbles from Pit 2, sowing towards Pit 3, Pit 4, Pit 5, Right Quan, and Pit 6. The final pebble drops into Pit 6 (now 6 pebbles). The next pit is Pit 7 (5 pebbles). P0 relay sows backwards through Pit 8, Pit 9, Pit 10, Left Quan, and Pit 1. The next pit is Pit 2 (empty). The subsequent pit is Pit 3 (holding 6 pebbles). Result: P0 captures all 6 pebbles from Pit 3!

3. Compare the Resulting Board States

Both directions capture 6 points. The table lists Dan stones after the entire move: B1–B5 are P0’s Pits 1–5; T1–T5 are P1’s Pits 10–6. Quan pieces are listed separately.

The difference is the location of P0’s empty pits. Both Quan pits gain one Dan stone, and Pit 7 (T4) is empty in both branches. This alone does not establish which direction is safer: an empty pit may enable an opponent’s capture depending on their reply. Check P1’s available replies before judging either move.

In Table Flip, this is also the second player’s decision window. See the example of taking P0 and its 6 points.

4. Common Mental Calculation Mistakes

• Forgetting the pebble just added during relay sowing: A pit that began with 5 pebbles now has 6 after receiving one. Count its current contents before continuing.
• Confusing stopping with capturing: If the final pebble lands in a citizen pit followed by an occupied Quan pit, the turn ends. You cannot relay sow from Quan or capture it without the required preceding empty pit.